Содержимое статьи:

Для нахождения предела выражения ((2x)/sin(2x))^(1/x^2) при x стремится к 0, воспользуемся логарифмированием:

lim (x -> 0) ((2x)/sin(2x))^(1/x^2) = lim (x -> 0) e^(ln(((2x)/sin(2x))^(1/x^2)))

Применив преобразование логарифма степени, получим:

= lim (x -> 0) e^(1/x^2 * ln((2x)/sin(2x)))

Теперь необходимо раскрыть неопределённости вида 0/0 в экспоненте:

= lim (x -> 0) e^(1/x^2 * (lim (x -> 0) ln(2x) - lim (x -> 0) ln(sin(2x))))

Найдём пределы каждого из слагаемых:

lim (x -> 0) ln(2x) = ln(0+) = -∞

lim (x -> 0) ln(sin(2x)) = ln(0+) = -∞

Подставляя пределы, получаем:

= lim (x -> 0) e^(1/x^2 * (-∞ - (-∞)))

= lim (x -> 0) e^(1/x^2 * 0)

= lim (x -> 0) e^0

= 1

Следовательно, предел выражения ((2x)/sin(2x))^(1/x^2) при x стремится к 0 равен 1.